Equazioni del cerchio: formule, forme generali e problemi di esempio

equazione circolare

L'equazione per un cerchio ha la forma generale x ^ 2 + y ^ 2 + Ax + By + C = 0, che può essere utilizzata per determinare il raggio e il centro di un cerchio.

L'equazione del cerchio che imparerai di seguito ha diverse forme. In casi diversi, l'equazione può essere diversa. Pertanto, capiscilo bene in modo da poterlo memorizzare a memoria.

Il cerchio è un insieme di punti equidistanti da un punto. Le coordinate di questi punti sono determinate dalla disposizione delle equazioni. Questo è determinato in base alla lunghezza del raggio e alle coordinate del centro del cerchio.

Equazioni circolari

Esistono vari tipi di equazioni, vale a dire equazioni formate dal punto centrale e dal raggio e un'equazione che può essere trovata per il punto centrale e il raggio.

Equazione generale del cerchio

C'è un'equazione generale, come di seguito:

equazione circolare

A giudicare dall'equazione di cui sopra, il punto centrale e il raggio possono essere determinati, sono:

equazione circolare

Il centro del cerchio è:

Al centro di P (a, b) e raggio r

Da un cerchio, se conosci il punto centrale e il raggio, otterrai la formula:

equazione circolare

Se conosci il punto centrale di un cerchio e il raggio del cerchio dove (a, b) è il centro er è il raggio del cerchio.

Dall'equazione ottenuta sopra, possiamo determinare se l'inclusione del punto si trova sul cerchio, o all'interno o all'esterno. Per determinare la posizione del punto, utilizzando la sostituzione del punto nelle variabili xey e quindi confrontando i risultati con il quadrato del raggio del cerchio.

equazione circolare

Un punto M (x 1 , y 1 ) si trova:

equazione circolare

Sul cerchio:

All'interno del cerchio:

Fuori dal cerchio:

A con centro O (0,0) e raggio r

Se il punto centrale è a O (0,0), allora esegui la sostituzione nella parte precedente, ovvero:

equazione circolare

Dall'equazione sopra, si può determinare la posizione di un punto sul cerchio.

equazione circolare

Un punto M (x 1 , y 1 ) si trova:

Sul cerchio:

All'interno del cerchio:

Fuori dal cerchio: leggi anche: L'arte è: definizione, funzione, tipi ed esempi [COMPLETO]

La forma generale dell'equazione può essere espressa nelle seguenti forme.

(x - a) 2 + (y - b) 2 = r2, o

X2 + y2 - 2ax - 2by + a2 + b2 - r2 = 0, o

X2 + y2 + Px + Qy + S = 0, dove P = -2a, Q = -2b e S = a2 + b2 - r2

L'intersezione di linee e cerchi

Un cerchio con l'equazione x2 + y2 + Ax + By + C = 0 può essere determinato se una retta h con l'equazione y = mx + n non la tocca, la offende o la interseca usando il principio discriminante.

……. (equazione 1)

…… .. (equazione 2)

Sostituendo l'equazione 2 nell'equazione 1, otterrai un'equazione quadratica, ovvero:

equazione circolare

Dall'equazione quadratica sopra, confrontando i valori discriminanti, si può vedere se la linea non offende / taglia, offende o interseca il cerchio.

La linea h non interseca / offende il cerchio, quindi D <0

La linea h è tangente al cerchio, quindi D = 0

La linea h interseca il cerchio, quindi D> 0

equazione circolare

Equazioni delle tangenti ai cerchi

1. Equazione delle tangenti attraverso un punto su un cerchio

Le tangenti a un cerchio incontrano esattamente un punto situato sul cerchio. Dal punto di intersezione della tangente e del cerchio, è possibile determinare l'equazione della retta della tangente.

Si può determinare l'equazione per la tangente al cerchio passante per il punto P (x 1 , y 1 ), ovvero:

  • Forma

L'equazione della tangente

    • Forma

    L'equazione della tangente

    equazione circolare
    • Forma

    L'equazione della tangente

    Esempio di problemi:

    L'equazione della tangente per il punto (-1,1) sul cerchio

    siamo:

    Risposta:

    Conosci l'equazione del cerchio

    dove A = -4, B = 6 e C = -12 ex 1 = -1, y 1 = 1

    PGS è

    equazione circolare

    Quindi l'equazione della tangente è

    2. L'equazione tangente al gradiente

    Se una linea con pendenza m è tangente a un cerchio,

    equazione circolare

    allora l'equazione della tangente è:

    Se è un cerchio,

    equazione circolare

    quindi l'equazione della tangente:

    equazione circolare

    Se è un cerchio,

    quindi l'equazione della tangente sostituendo r con,

    equazione circolare

    così che:

    equazione circolare

    o

    3. Equazioni delle tangenti a punti esterni al cerchio

    Da un punto esterno al cerchio, è possibile tracciare due tangenti al cerchio.

    Leggi anche: Democrazia: definizione, storia e tipi [COMPLETO]

    Per trovare l'equazione tangente, viene utilizzata la formula dell'equazione della linea regolare, vale a dire:

    equazione circolare

    Tuttavia, da questa formula, il valore della pendenza della linea è sconosciuto. Per trovare la pendenza della linea, sostituire l'equazione con l'equazione del cerchio. Poiché la linea è una tangente, dall'equazione si ottiene la sostituzione del valore D = 0 e si otterrà il valore di m

    Esempio di problemi

    Problema di esempio 1

    Un cerchio ha un punto centrale (2, 3) ed è di 8 cm di diametro. L'equazione del cerchio è ...

    Discussione:

    Poiché d = 8 significa r = 8/2 = 4, quindi l'equazione per il cerchio che si forma è

    (x - 2) ² + (y - 3) ² = 42

    x² - 4x + 4 + y² -6y + 9 = 16

    x² + y² - 4x - 6y - 3 = 0

    Problema di esempio 2

    Determina l'equazione generale per il cerchio centrato nel punto (5,1) e offende la linea 3 x - 4 y + 4 = 0!

    Discussione:

    Se è noto che il centro del cerchio ( a , b ) = (5,1) e la tangente al cerchio è 3 x - 4 y + 4 = 0, allora il raggio del cerchio è formulato come segue.

    Pertanto, l'equazione generale per il cerchio è la seguente.

    Pertanto, l'equazione generale per un cerchio centrato in (5,1) e che offende la linea 3 x - 4 y + 4 = 0 è

    Problema di esempio 3

    Trova l'equazione generale per un cerchio centrato su (-3,4) e che offende l'asse Y!

    Discussione:

    Prima di tutto, disegniamo prima il grafico del cerchio, che è centrato su (-3,4) e offende l'asse Y!

    In base all'immagine sopra, si può vedere che il centro del cerchio è alla coordinata (-3,4) con un raggio di 3, in modo che:

    Pertanto, l'equazione generale centrata su (-3,4) e offende l'asse Y è

    In alcuni casi, il raggio del cerchio non è noto, ma la tangente è nota. Allora come determinare il raggio del cerchio? Guarda la seguente immagine.

    equazione circolare

    L'immagine sopra mostra che la tangente all'equazione px + qy + r = 0 appartiene al cerchio centrato in C ( a, b ). Il raggio può essere determinato dalla seguente equazione. a, b ). Il raggio può essere determinato dalla seguente equazione.

    Può essere utile.