L'induzione matematica è un metodo deduttivo utilizzato per dimostrare affermazioni vere o false.

Devi aver studiato matematica introduzione al liceo. Come sappiamo, l'induzione matematica è un'estensione della logica matematica.

Nella sua applicazione, la logica matematica viene utilizzata per studiare affermazioni false o vere, equivalenti o negazioni e trarre conclusioni.

Concetti basilari

L'induzione matematica è un metodo deduttivo utilizzato per dimostrare affermazioni vere o false.

Nel processo, le conclusioni vengono tratte in base alla validità delle affermazioni generalmente accettate in modo che anche le affermazioni specifiche possano essere vere. Inoltre, una variabile nell'induzione matematica è anche considerata un membro dell'insieme naturale di numeri.

Fondamentalmente, ci sono tre passaggi nell'induzione matematica per dimostrare se una formula o un'affermazione può essere vera o viceversa.

Questi passaggi sono:

Dimostra che un'affermazione o una formula è vera per n = 1.
Supponiamo che un'affermazione o una formula sia vera per n = k.
Dimostra che un'affermazione o una formula è vera per n = k + 1.

Dai passaggi precedenti, possiamo assumere che un'affermazione deve essere verificabile per n = k e n = k + 1.

Tipi di induzione matematica

Esistono vari tipi di problemi matematici che possono essere risolti tramite l'induzione matematica. Pertanto, l'induzione matematica può essere suddivisa in tre tipi, vale a dire serie, divisione e disuguaglianza.

1. Serie

In questo tipo di serie, di solito il problema dell'induzione matematica si trova sotto forma di addizione successiva.

Quindi, nel problema della serie, la verità deve essere dimostrata nel primo termine, nel termine k e nel termine th (k + 1).

2. Divisione

I tipi di induzione matematica di divisione possono essere trovati in vari problemi che utilizzano le seguenti frasi:

a è divisibile per b
fattore b di a
b divide a
a multipli b

Queste quattro caratteristiche indicano che l'affermazione può essere risolta usando l'induzione matematica di tipo divisione.

La cosa da ricordare è che se il numero a è divisibile per b allora a = bm dove m è un numero intero.

3. Disuguaglianza

Il tipo di disuguaglianza è indicato da un segno maggiore o minore di quello nell'istruzione.

Ci sono proprietà che vengono spesso utilizzate per risolvere tipi di disuguaglianze di induzione matematica. Queste caratteristiche sono:

a> b> c ⇒ a> c oppure a <b <c ⇒ a <c
a 0 ⇒ ac <bc oppure a> bec> 0 ⇒ ac> bc
a <b ⇒ a + c <b + c oppure a> b ⇒ a + c> b + c

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Esempio di problemi di induzione matematica
Quello che segue è un problema di esempio in modo che tu possa capire meglio come risolvere una prova di formula usando l'induzione matematica.
Riga
Esempio 1
Dimostrare 2 + 4 + 6 +… + 2 n = n (n + 1), per ogni n numeri naturali.
Risposta:
P (n): 2 + 4 + 6 +… + 2 n = n (n + 1)
Si dimostrerà che n = (n) è vero per ogni n ∈ N
Primo passo :
Si mostrerà che n = (1) è corretto
2 = 1 (1 + 1)
Quindi, P (1) è corretto
Secondo passo :
Supponiamo che n = (k) sia vero, ad es.
2 + 4 + 6 +… + 2k = k (k + 1), k ∈ N
Terzo passaggio
Si mostrerà che anche n = (k + 1) è vero, cioè
2 + 4 + 6 +… + 2k + 2 (k + 1) = (k + 1) (k + 1 + 1)
Dalle ipotesi:
2 + 4 + 6 +… + 2k = k (k + 1)
Aggiungi entrambi i lati con u _{k + 1} :
2 + 4 + 6 +… + 2k + 2 (k + 1) = k (k + 1) + 2 (k + 1)
2 + 4 + 6 +… + 2k + 2 (k + 1) = (k + 1) (k + 2)
2 + 4 + 6 +… + 2k + 2 (k + 1) = (k + 1) (k + 1 + 1)
Quindi, n = (k + 1) è corretto
Esempio 2
Usa l'induzione matematica per dimostrare le equazioni
Sn = 1 + 3 + 5 +7 +… + (2n-1) = n2 per tutti gli interi n ≥ 1.
Risposta:
Primo passo :
Si mostrerà che n = (1) è corretto
S1 = 1 = 12
Secondo passo
Supponiamo che n = (k) sia vero, cioè
1 + 3 + 5 +7 + ... + 2 (k) -1 = k2
1 + 3 + 5 +7 + ... + (2k-1) = k 2
Terzo passaggio
Dimostra che n = (k + 1) è vero
1 + 3 + 5 +7 + ... + (2k-1) + [2 (k + 1) - 1] = (k + 1) 2
ricorda che 1 + 3 + 5 +7 + ... + (2k-1) = k2
poi
k2 + [2 (k + 1) - 1] = (k + 1) 2
k2 + 2k + 1 = (k + 1) 2
(k + 1) 2 = (k + 1) 2
quindi l'equazione di cui sopra è dimostrata
Esempio 3
Dimostra che 1 + 3 + 5 +… + (2n - 1) = n2 è vero, per ogni n numeri naturali
Risposta:
Primo passo :
Si mostrerà che n = (1) è corretto
1 = 12
Quindi, P (1) è corretto
Secondo passo :
Supponiamo che n = (k) sia vero, cioè
1 + 3 + 5 +… + (2k - 1) = k2, k ∈ N.
Terza fase:
Si mostrerà che anche n = (k + 1) è vero, cioè
1 + 3 + 5 +… + (2k - 1) + (2 (k + 1) - 1) = (k + 1) 2
Dalle ipotesi:
1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) = k2
Aggiungi entrambi i lati con u _{k + 1} :
1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + (2 (k + 1) - 1) = k2 + (2 (k + 1) - 1)
1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + (2 (k + 1) - 1) = k2 + 2k +1
1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + (2 (k + 1) - 1) = (k + 1) 2
Quindi, anche n = (k + 1) è vero
Divisione
Esempio 4
Dimostra che n3 + 2n è divisibile per 3, per ogni n numeri naturali
Risposta:
Primo passo :
Si mostrerà che n = (1) è corretto
13 + 2,1 = 3 = 3,1
Quindi, n = (1) è corretto
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Secondo passo :
Supponiamo che n = (k) sia vero, cioè
k3 + 2k = 3m, k ∈ NN
Terza fase:
Si mostrerà che anche n = (k + 1) è vero, cioè
(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = 3p, p ∈ ZZ
(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = (k3 + 3k2 + 3k + 1) + (2k + 2)
(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = (k3 + 2k) + (3k2 + 3k + 3)
(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = 3m + 3 (k2 + k + 1)
(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = 3 (m + k2 + k + 1)
Poiché m è un numero intero e k è un numero naturale, (m + k2 + k + 1) è un numero intero.
Supponiamo che p = (m + k2 + k + 1), allora
(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = 3p, dove p ∈ ZZ
Quindi, n = (k + 1) è corretto
Disuguaglianza
Esempio 5
Dimostrare che per ogni numero naturale n ≥ 2 è valido
3n> 1 + 2n
Risposta:
Primo passo :
Si mostrerà che n = (2) è corretto
32 = 9> 1 + 2,2 = 5
Quindi, P (1) è corretto
Secondo passo :
Supponiamo che n = (k) sia vero, cioè
3k> 1 + 2k, k ≥ 2
Terza fase:
Si mostrerà che anche n = (k + 1) è vero, cioè
3k + 1> 1 + 2 (k + 1)
3k + 1 = 3 (3k)
3k + 1> 3 (1 + 2k) (perché 3k> 1 + 2k)
3k + 1 = 3 + 6k
3k + 1> 3 + 2k (perché 6k> 2k)
3k + 1 = 1 + 2k + 2
3k + 1 = 1 + 2 (k + 1)
Quindi, anche n = (k + 1) è vero
Esempio 6
Dimostrare che per ogni numero naturale n ≥ 4 è valido
(n + 1)! > 3n
Risposta:
Primo passo :
Si mostrerà che n = (4) è corretto
(4 + 1)! > 34
lato sinistro: 5! = 5.4.3.2.1 = 120
lato destro: 34 = 81
Quindi, n = (4) è corretto
Secondo passo :
Supponiamo che n = (k) sia vero, cioè
(k + 1)! > 3k, k ≥ 4
Terza fase:
Si mostrerà che anche n = (k + 1) è vero, cioè
(k + 1 + 1)! > 3k + 1
(k + 1 + 1)! = (k + 2)!
(k + 1 + 1)! = (k + 2) (k + 1)!
(k + 1 + 1)! > (k + 2) (3k) (perché (k + 1)!> 3k)
(k + 1 + 1)! > 3 (3k) (perché k + 2> 3)
(k + 1 + 1)! = 3k + 1
Quindi, anche n = (k + 1) è vero